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Auf dem Zettel steht „keine Rechnung“, weil es eben keine Rechnung ist.
Wie eine Rechnung auszusehen hat, ist im Umsatzsteuergesetz geregelt. Auf einer Rechnung müssen z.B. Name und Anschrift des Restaurant stehen. Gegenüber Privatpersonen muss ein Unternehmen normalerweise keine Rechnung ausstellen. (Es gibt Ausnahmen zur Vermeidung von Schwarzarbeit.)
Bei dem Zettel, den du bekommen hast, handelt es sich also eher um einen Beleg, der nicht gesetzlich geregelt ist.